Ֆրանսուա Վիետ՝ (1540 -1603) ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, կրթությամբ իրավաբան:
Այս թեորեմի միջոցով լուծում են քառակուսային հավասարումներ:Առավել հարմար է Վիետիթեորեմը կիրառել բերված տեսքի հավասարումների (երբ a=1)։
Եթե x2+px+q=0 բերված տեսքի քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է, ապա՝ {x1⋅x2=q x1+x2=−p, որտեղ x1 -ը և x2 -ը x2+px+q=0 հավասարման արմատներն են:
Օրինակ՝ Լուծենք հետևյալ հավասարումը:
x2−14x+40=0,{x1⋅x2=40 x1+x2=14 x1=10,x2=4
Վիետի թեորեմը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում, երբ a≠1
Եթե ax2+bx+c=0 քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է ապա՝
{x1⋅x2=c/a x1+x2=−b/a, որտեղ x1 -ը և x2 -ը ax2+bx+c=0 հավասարման արմատներն են:Իրոք, ընդհանուր դեպքը գալիս է բերված տեսքի դեպքին, եթե հավասարումը բաժանել a -ի վրա՝
ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում ենքառակուսային (քառակուսի) հավասարում:
Օրինակ
2x2+3x−8=0, −3x2+2x+1=0, x2+5x=0, 2x2−4=0, 25x2=0 հավասարումները քառակուսային հավասարումների օրինակներ են:
a թիվն անվանում են ավագ անդամի՝ x2 -ու գործակից, b թիվը՝ x -ի գործակից, c -ն՝ ազատ անդամ:
Քանի որ a≠0, ապա ցանկացած քառակուսային հավասարում ունի ax2 ավագ անդամը: Այդ պատճառով քառակուսային հավասարումն անվանում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարում:
Քառակուսային հավասարման ուսումնասիրման հարցերում կարևոր դեր է խաղում հետևյալ թիվը՝ D=b2−4ac
D=b2−4ac թիվն անվանում են ax2+bx+c=0 քառակուսային հավասարման տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:
Օրինակ
1) 2x2−3x−5=0 հավասարման մեջ a=2 -ը x2 -ու գործակիցն է, b=−3 -ը՝ x -ի գործակիցը, իսկ c=−5 -ը՝ ազատ անդամը: Հաշվենք տարբերիչը` D=(−3)2−4⋅2⋅(−5)=9+40=49
2) x2−7=0 հավասարման մեջ b=0, այդ պատճառով էլ չկա x պարունակող անդամը: x2 -ու գործակիցը a=1 -ն է, իսկ ազատ անդամը՝ c=−7: Տարբերիչը հավասար է՝ D=−4⋅(−7)=28
Հիշենք, որ
x անհայտով հավասարման արմատ կամ լուծում անվանում են այն թիվը, որը հավասարման մեջ x -ի փոխարեն տեղադրելով ստացվում է ճիշտ թվային հավասարություն:
Լուծել հավասարումը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները կամ ցույց տալ, որ արմատներ չկան:
Ուշադրություն
Եթե ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարման մեջ a=0, այսինքն, չկա x2 պարունակող անդամը, ապա հավասարումը քառակուսային չէ:
Վերջին երեք օրինակներում a≠0 (այսինքն, դրանք քառակուսային հավասարումներ են), սակայն՝
x2+2x=0 հավասարման մեջ c=0
2x2−6=0 հավասարման մեջ b=0
12x2=0 հավասարման մեջ երկուսն էլ զրո են՝ b=0, c=0
Այս օրինակներում բերվածները կոչվում են թերի հավասարումներ:
Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:
Օրինակ
Լուծենք հետևյալ թերի հավասարումները՝
1) x2+3x=0
x2+3x=0 x(x+3)=0 x=0 x=−3
Պատասխան՝ x=0,x=−3
2) 2x2−8=0
2x2−8=0 x2−4=0 (x−2)(x+2)=0 x1=2 x2=−2
Պատասխան՝ x1=2,x2=−2
3) 7x2=0
7x2=0 x2=0 x=0
Պատասխան՝ x=0
Հարցեր և առաջադրանքներ։
1․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում քառակուսային։
ax2+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում ենքառակուսային (քառակուսի) հավասարում:
2․ Ինչպե՞ս են հաշվում քառակուսային հավասարման տարբերիչը։ D=b2−4ac
1) 2x2−3x−5=0 հավասարման մեջ a=2 -ը x2 -ու գործակիցն է, b=−3 -ը՝ x -ի գործակիցը, իսկ c=−5 -ը՝ ազատ անդամը: Հաշվենք տարբերիչը` D=(−3)2−4⋅2⋅(−5)=9+40=49
2) x2−7=0 հավասարման մեջ b=0, այդ պատճառով էլ չկա x պարունակող անդամը: x2 -ու գործակիցը a=1 -ն է, իսկ ազատ անդամը՝ c=−7: Տարբերիչը հավասար է՝ D=−4⋅(−7)=28
3․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում թերի քառակուսային։
Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:
4․ Կազմել ax2+bx+c=0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են․
Եթե անհավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի անհավասարումը անվանում ենիռացիոնալ:
Սովորենք լուծել պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները: Պարզագույն իռացիոնալ անհավասարումներն են՝ √x<a և √x>a, որտեղ a -ն տրված իրական թիվ է:
Դիտարկենք √x<a անհավասարումը:
1) Եթե a≤0, ապա թվաբանական քառակուսի արմատի սահմանման համաձայն, անհավասարումը լուծում չունի:
2) Եթե a>0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Եկանք հետևյալ համակարգին՝
Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ կրկնակի անհավասարումը՝ 0≤x<a2
Դիտարկենք √x>a անհավասարումը:
1) Եթե a<0, ապա ձախից ոչ բացասական թիվ է, իսկ աջից՝ բացասական: Անհավասարումը միշտ ճիշտ է, եթե արմատն իմաստ ունի:
Հետևաբար այս դեպքում անհավասարման պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)
2) Եթե a≥0, ապա պետք է անհավասարումը բարձրացնել քառակուսի և պահանջել, որ արմատն իմաստ ունենա (արմատատակ թիվը լինի ոչ բացասական): Գալիս ենք հետևյալ համակարգին՝
Որպես պատասխան ստանում ենք հետևյալ անհավասարումը՝ x>a2
Նման ձևով վարվելով՝ կարելի է լուծել պարզագույն ոչ խիստ անհավասարումները:
√x ≤a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:
1) Եթե a<0, լուծում չկա:
2) Եթե a≥0, ապա x∈[0;a2]
√x ≥ a անհավասարման դեպքում գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:
1) Եթե a<0, պատասխանը ԹԱԲ -ն է՝ [0;+∞)
2) Եթե a≥0, ապա x∈[a2;+∞)
Օրինակ
Լուծենք √2x−1<3 իռացիոնալ անհավասարումը:
1) Սկզբում գտնենք ԹԱԲ -ը՝ 2x−1≥0
2) Երկու մասերը բարձրացնենք քառակուսի՝ (√2x−1)22
3) Եկանք հետևյալ համակարգին՝
4) Լուծենք ստացված համակարգը՝
5) Պատասխանը ստացված բազմությունների հատումն է՝ x∈[0.5;5)
Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ:
Կյանքի շատ իրավիճակներ նկարագրվում են իռացիոնալ հավասարումներով: Ուստի, սովորենք լուծել գոնե պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները:
Դիտարկենք
Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ:
Կյանքի շատ իրավիճակներ նկարագրվում են իռացիոնալ հավասարումներով: Ուստի, սովորենք լուծել գոնե պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները:
Դիտարկենք √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումը:
Ըստ քառակուսի արմատի սահմանման, այն նշանակում է, որ 2x+1=32: Փաստորեն, քառակուսի բարձրացնելով, տրված իռացիոնալ հավասարումը բերեցինք 2x+1=9 գծային հավասարմանը:
Ուշադրություն
Քառակուսի բարձրացնելը իռացիոնալ հավասարումների լուծման հիմնական եղանակն է:
Դա բնական է, եթե պետք է ազատվել քառակուսի արմատի նշանից:
2x+1=9 հավասարումից ստանում ենք՝ x=4: Սա միաժամանակ 2х+1=9 գծային և √2x+1=3 իռացիոնալ հավասարումների արմատն է:
Քառակուսի բարձրացնելու եղանակը տեխնիկապես բարդ չէ իրականացնել, սակայն երբեմն այն բերում է անցանկալի իրավիճակների:
Օրինակ
Դիտարկենք √2x−5=√4x−7 իռացիոնալ հավասարումը:
Երկու մասերը բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝ (√2x−5)2=(√4x−7)2 2x−5=4x−7
Լուծելով ստացված 2x−4x=−7+5 հավասարումը, ստանում ենք x=1
Սակայն x=1, որը 2x−5=4x−7 գծային հավասարման արմատն է, չի բավարարում տրված իռացիոնալ հավասարմանը: Ինչո՞ւ: Իռացիոնալ հավասարման մեջ փոխարեն տեղադրենք 1: Կստանանք՝ √−3=√−3
Հավասարումը բնականաբար չի բավարարվում, քանի որ հավասարության ձախ և աջ մասերը իմաստ չունե
Ստացել ենք ավելորդ արմատ: Այսպիսի իրավիճակներում ասում ենք, որ x=1 -ը թույլատրելի արժեք չէ, կամ չի պատկանում թույլատրելի արժեքների բազմությանը: Դուրս եկավ, որ այս դեպքում, իռացիոնալ հավասարումը արմատ չունի, մինչդեռ քառակուսի բարձրացնելուց ստացված գծային հավասարումը արմատ ուներ:
Պետք է այսպիսի ավելորդ արմատները ժամանակին հայտնաբերել և չընդգրկել լուծումների մեջ՝ դեն նետել: Դա արվում է ստուգման միջոցով:
Իռացիոնալ հավասարումների համար, ստուգումը լուծման անհրաժեշտ փուլ է, որը օգնում է հայտնաբերել և դեն նետել ավելորդ արմատնելը:
Ուշադրություն
Այսպիսով, իռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար պետք է՝
3) Լուծենք համակարգի անհավասարումները՝ {2x−5≤3 և 2x−5≥−3 {2x≤8 և 2x≥2 {x≤4 և x≥1 {x∈(−∞;4] x∈[1;+∞)
4)Հատենք ստացված բազմությունները՝ (−∞;4]∩[1;+∞)=[1;4]
5) Պատասխան՝ x∈[1;4]
Մոդուլ պարունակող անհավասարումներ
Դիտարկենք |x|>A անհավասարումը, որտեղ A -ն դրական թիվ է:
Մոդուլի սահմանումից և հատկություններից հետևում է, որ |x|>A անհավասարմանը բավարարում են այն և միայն այն x -երը, որոնք բավարարում են x<A կամ x>−A պայմաններից գոնե մեկին:
Եթե A>0, ապա լուծել |x|>A անհավասարումը նշանակում է լուծել անհավասարումների [x<A կամ x>−A համախումբը:
Ամբողջ ասվածը ուժի մեջ է նաև ոչ խիստ անհավասարումների համար՝
|x|≥A ոչ խիստ անհավասարումը լուծելու համար պետք է լուծել ոչ խիստ անհավասարումների [x<A կամ x>−A համախումբը: